数III毎日計算ドリル 1日目
編集者1解答
問１ 次の極限値を求めよ。\[\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2+(n+2)^2+\cdots+(2n)^2}{1^2+2^2+\cdots+n^2}\]
[福岡大]
【解答】
分母分子を$\sum$を用いて表して，
\begin{align*}
{}&\frac{(n+1)^2+(n+2)^2+\cdots+(2n)^2}{1^2+2^2+\cdots+n^2}\\[6pt]
={}&\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}k^2-\sum_{k=1}^{n}k^2}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2}\\[6pt]
={}&\frac{\displaystyle\frac{1}{6}2n(2n+1)(4n+1)}{\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}-1\\[6pt]
={}&\frac{2(4n+1)}{n+1}-1\\[6pt]
={}&\frac{\displaystyle2\left(4+\frac{1}{n}\right)}{\displaystyle1+\frac{1}{n}}-1\to\boldsymbol{7}\quad(n\to\infty)
\end{align*}
問２ 次を$x$ で微分せよ。\[x\cos^23x\]
【解答】
積の微分法を用いて，
\begin{align*}
&\frac{d}{dx}\left(x\cos^23x\right)\\[6pt]
={}&\cos^23x+x\cdot(\cos3x)'2\cos3x\\[6pt]
={}&\cos^23x-x\cdot(3x)'\sin3x\cdot 2\cos3x\\[6pt]
={}&\boldsymbol{\cos^23x-3x\sin6x}
\end{align*}
問３ 次の積分を計算せよ。\[\int\frac{\sin2\theta+1}{\cos^2\theta}\ d\theta\]
【解答】
\begin{align*}
\int\frac{\sin2\theta+1}{\cos^2\theta}\ d\theta
&=\int\left\{2\tan\theta+\frac{1}{\cos^2\theta}\right\}\ d\theta\\[6pt]
&=\boldsymbol{-2\log|\cos\theta|+\tan\theta+C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数。
$tan\theta$ の積分公式を覚えていない人は，\[\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=-\frac{(\cos\theta)'}{\cos\theta}\]を利用して求めることができます。
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