数III毎日計算ドリル 10日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\lim_{x\to 0}x\sin\frac{\pi}{x}\]
【解答】
三角関数 $\displaystyle\sin\frac{\pi}{x}$ が振動するので，不等式で評価してからはさみうちの原理に持ちこみましょう。
$\displaystyle-1\leqq\sin\frac{\pi}{x}\leqq1$より，$x$をかけて，\[-x\leqq x\sin\frac{\pi}{x}\leqq x\]
はさみうちの原理から，$\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin\frac{\pi}{x}=\boldsymbol{0}$
問２ 無限級数
\[\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\cdots+\frac{n}{3^n}+\cdots\cdots\]
の収束，発散を調べ，収束する場合はその和を求めよ。
【解答】
まず，部分和$S_n$を求めてから極限を計算する。
\begin{align*}
S_n&=\frac13+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\cdots+\frac{n}{3^n}\\
\frac13S_n&=\frac1{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+\cdots+\frac{n-1}{3^n}+\frac{n}{3^{n+1}}
\end{align*}
辺々を引いて，
\begin{align*}
\frac23S_n
&=\sum_{k=1}^n\left(\frac13\right)^k-\frac{n}{3^{n+1}}\\
&=\frac{\displaystyle\frac13\left\{1-\left(\frac13\right)^n\right\}}{1-\frac13}-\frac{n}{3^{n+1}}\\
&=\frac12\left\{1-\left(\frac13\right)^n\right\}-\frac{n}{3^{n+1}}\\
\therefore\ S_n
&=\frac34\left\{1-\left(\frac13\right)^n\right\}-\frac{n}{2\cdot3^{n}}
\to\frac34\quad(n\to\infty)
\end{align*}
であるので，この無限級数は収束し，その和は$\displaystyle\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
問３ 次を簡単にせよ。\[(2+i)^{4}(3+i)^{4}\]
【解答】
$(2+i)(3+i)=5+5i$ なので，極形式にしてド・モアブルの定理より，
\[\text{(与式)}=\left(5\sqrt2\right)^4\left(\cos4\cdot\frac{\pi}4+i\sin4\cdot\frac{\pi}4\right)=\boldsymbol{-2500}\]
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