数III毎日計算ドリル 11日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{\sqrt{x^2+x}+x}-\sqrt[3]{\sqrt{x^2+x}-x}\right)\]
【解答】
\begin{align*}
&\sqrt[3]{\sqrt{x^2+x}+x}-\sqrt[3]{\sqrt{x^2+x}-x}\\[6pt]
={}&\sqrt[3]{\sqrt{x^2+x}+x}-\sqrt[3]{\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}}\\[6pt]
={}&\sqrt[3]{\sqrt{x^2+x}+x}-\sqrt[3]{\frac{1}{\displaystyle\sqrt{1+\frac1x}+1}}\\[6pt]
\to{}&\boldsymbol{\infty}\quad(x\to\infty)
\end{align*}
問２ 次の関数を微分せよ。\[\log\left\{(x^2-1)^4e^{2x}\right\}\]
【解答】
積の微分法と合成関数の微分法を用いて，
\begin{align*}
&\frac{d}{dx}\log\left\{(x^2-1)^4e^{2x}\right\}\\
={}&\frac{\left((x^2-1)^4e^{2x}\right)'}{(x^2-1)^4e^{2x}}\\
={}&\frac{2x\cdot4(x^2-1)^3e^{2x}+2(x^2-1)^4e^{2x}}{(x^2-1)^4e^{2x}}\\
={}&\boldsymbol{\frac{2(x^2+4x-1)}{x^2-1}}
\end{align*}
問３ 次の積分を計算せよ。\[\int\frac{\ dx}{\tan^2 x}\]
【解答】
\begin{align*}
\int\frac{\ dx}{\tan^2 x}
&=\int\frac{\cos^2x}{\sin^2x}\ dx\\[6pt]
&=\int\frac{1-\sin^2x}{\sin^2x}\ dx\\[6pt]
&=\int\left(\frac1{\sin^2x}-1\right)\ dx
\end{align*}
$\displaystyle\left(\frac1{\tan x}\right)'=-\frac1{\sin^2 x}$より，
\begin{align*}
\text{(与式)}=\boldsymbol{-\frac1{\tan x}-x+C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数。
積分公式 $\displaystyle\int \frac 1{\sin^{2}x}\ dx=-\frac{1}{\tan x}+C$ を覚えておくように！
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