数III毎日計算ドリル 12日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\log \sqrt{e^x(x+1)}}{x+1}\]
【解答】
\begin{align*}
&\frac{\log \sqrt{e^x(x+1)}}{x+1}\\[6pt]
={}&\frac12\cdot\frac{x+\log(x+1)}{x+1}\\[6pt]
={}&\frac12\cdot\frac{\displaystyle1+\frac{\log(x+1)}{x}}{\displaystyle1+\frac1x}
\to\boldsymbol{\frac12}\quad(x\to\infty)
\end{align*}
問２ $\displaystyle y=\frac{x^2}{x+1}$ の原点での接線を求めよ。
【解答】
$\displaystyle y'=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$より，接線は$y=0$
問３ 次の積分を計算せよ。\[\displaystyle \int x\cos(2x^2+\pi)\ dx\]
【解答】
位相ずれを直してから，微分形を見つけて，
\begin{align*}
\int x\cos(2x^2+\pi)\ dx&=-\int x\cos2x^2\ dx\\[6pt]
&=-\frac14\int (2x^2)'\cos2x^2\ dx\\[6pt]
&=\boldsymbol{-\frac14\sin2x^2+C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数。
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