数III毎日計算ドリル 13日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(2x-\pi)\tan x\]
【解答】
$\displaystyle t=x-\frac{\pi}{2}$とおくと，$\displaystyle x\to\frac{\pi}{2}$で$t\to0$であり，$\displaystyle \tan x=\tan\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\tan t}$であるので，
\begin{align*}
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(2x-\pi)\tan x&=\lim_{t\to0}\left(-2\cdot\frac{t}{\tan t}\right)\\[6pt]
&=\boldsymbol{-2}
\end{align*}
最後の極限計算の部分では，極限公式を利用しています。
問２ 次の積分を求めよ。\[\displaystyle\int (2x^2-3){\cos \frac x2}\ dx\]
【解答】
\begin{align*}
\begin{array}{ll}
\displaystyle \left\{(2x^2-3)\sin \frac x2\right\}'=4x\sin \frac x2+\frac{2x^2-3}2 \cos \frac x2 & \cdots①\\[10pt]
\displaystyle (x\cos x2)'=\cos \frac x2-\frac x2 \sin \frac x2 & \cdots②
\end{array}\text{}
\end{align*}
$①\times2+②\times16$として両辺積分すると，（部分積分）
\begin{align*}
& \int (2x^2-3){\cos \frac x2}\ dx\\[6pt]
={}&\boldsymbol{\displaystyle(4x^2-34)\sin \frac x2+16x\cos \frac x2+C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数。
問３ 次を簡単にせよ。\[\displaystyle (3+2i)^4\]
【解答】
$ (3+2i)^4=(5+12i)^2=\boldsymbol{-119+120i}$
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