数III毎日計算ドリル 14日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x}\]
【解答】
\begin{align*}
&\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x}\\[6pt]
={}&\lim_{x\to \infty}\left\{\displaystyle \left(1-\frac{2}{x+1}\right)^{-\frac{x+1}{2}}\right\}^{-2}\left(1-\frac{2}{x+1}\right)^{-1}\\[6pt]
={}&\boldsymbol{e^{-2}}
\end{align*}
最後の極限計算の部分では，$e$ の定義式を利用しています。
問２ $\displaystyle y=\frac{x^3}{x^2-1}$のグラフの概形を描き，漸近線を記せ。
【解答】
極値は参考のために載せている。
\[y=\frac{x^3}{x^2-1}=x+\frac{x}{x^2-1}\]
より，漸近線は$y=x,\,x=\pm1$であり，
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle \lim_{x\to-1-0}\frac{x^3}{x^2-1}=-\infty\\[6pt]
\displaystyle \lim_{x\to-1+0}\frac{x^3}{x^2-1}=\infty\\[6pt]
\displaystyle \lim_{x\to1-0}\frac{x^3}{x^2-1}=-\infty\\[6pt]
\displaystyle \lim_{x\to1+0}\frac{x^3}{x^2-1}=\infty
\end{array}\right.\text{}
\end{align*}
以上からグラフは次の通り。
問３ 次の積分を計算せよ。\[\int\frac{dx}{x(x^2+1)}\]
【解答】
$\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}$より，
\begin{align*}
&\int\frac{dx}{x(x^2+1)}\\[6pt]
={}&\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}\right)\ dx\\[6pt]
={}&\boldsymbol{\log|x|-\frac12\log(x^2+1)+C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数とする。
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