数III毎日計算ドリル 15日目
編集者1解答
問１ $x>0$ のとき $1<\sqrt{1+x}<1+x$ が成立することを用いて，次の極限を求めよ。
\[\lim_{n\to\infty}\frac1{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}\]
[群馬大 改]
【解答】
不等式が与えられているので，はさみうちの原理に持ちこみましょう。
$n\to\infty$より$n>0$として考えてよく，
\begin{align*}
&\ 1<\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}<1+\frac{k}{n^2}\\[6pt]
\therefore&\ \frac1{n}\sum_{k=1}^{n}1<\frac1{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}<\frac1{n}\sum_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^2}\right)
\end{align*}
ここで，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n}\sum_{k=1}^{n}1=\lim_{n\to\infty}1=1$であり，
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\frac1{n}\sum_{k=1}^{n}\left\{1+\frac{k}{n^2}\right\}
&=\lim_{n\to\infty}\frac1{n}\left(n+\frac{n(n+1)}{2n^2}\right)\\[6pt]
&=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\displaystyle 1+\frac1n}{2n}\right)\\[6pt]
&=1
\end{align*}
はさみうちの原理から，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}= \boldsymbol{1}$
問２ 無限級数\[\frac{1}{3}+\frac{2}{5}+\frac{3}{7}+\frac{4}{9}+\cdots\cdots\]の収束，発散を調べ，収束する場合はその和を求めよ。
【解答】
$\displaystyle a_n=\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{n}}\to\frac{1}{2}\ (n\to\infty)$であるので，この無限級数は正の無限大に発散する。
※ $\displaystyle\Sigma$ の中身$\nrightarrow0\ \Longrightarrow\ $無限和は発散する ことを利用している。
問３ $z$ の方程式 $z^3=8i$ を解け。
【解答】
$\displaystyle z^3=8i=8\left(\cos\frac{\pi}2+i\sin\frac{\pi}2\right)$なので，
\[z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\quad \left(r>0,\,0\leqq\theta<2\pi\right)\]
とすると，ド・モアブルの定理より，$\displaystyle r=2,\ 3\theta=\frac{\pi}2+2n\pi\ \text{($n$は自然数)}$なので，$0\leqq\theta<2\pi$で，
\[\theta=\frac{\pi}6+\frac23n\pi\quad (n=0,\,1,\,2)\]
よって，$z=\boldsymbol{-2i,\,\sqrt{3}+i,\,-\sqrt{3}+i}$
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