数III毎日計算ドリル 16日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\lim_{n\to\infty} \sqrt{n+2}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\]
【解答】
\begin{align*}
&\sqrt{n+2}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\\[6pt]
={}&\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\Bigl\{(n+1)-n\Bigr\}\\[6pt]
={}&\frac{\sqrt{\displaystyle 1+\frac2n}}{\sqrt{\displaystyle 1+\frac1n}+\sqrt{1}}\to\boldsymbol{\frac12}\quad(n\to\infty)
\end{align*}
問２ 次の関数を微分せよ。\[2^{\sin2x}\]
【解答】
底の変換の後，合成関数の微分法を用いて，
\begin{align*}
&\frac{d}{dx}2^{\sin2x}\\[6pt]
={}&\frac{d}{dx}e^{\sin2x\log2}\\[6pt]
={}&\left(\sin2x\log2\right)'e^{\sin2x\log2}\\[6pt]
={}&2\cos2x\log2\cdot e^{\sin2x\log2}\\[6pt]
={}&2\cos2x\log2\cdot 2^{\sin2x}\\[6pt]
={}&\boldsymbol{2^{1+\sin 2x}\cos2x\cdot\log 2}
\end{align*}
問３ 次の積分を計算せよ。\[\int \left\{ e^{2x+1}+4^{(1-x)} \right\} \ dx\]
【解答】
底の変換により，$4^{(1-x)}=e^{(1-x)\log4}$ から，
\begin{align*}
&\int\left\{ e^{2x+1}+4^{(1-x)}\right\}\ dx\\[6pt]
={}&\int\left\{ e^{2x+1}+e^{(1-x)\log4}\right\}\ dx\\[6pt]
={}&\frac12e^{(2x+1)}-\frac{e^{(1-x)\log4}}{\log4}+C\\[6pt]
={}&\boldsymbol{\frac12e^{(2x+1)}-\frac{4^{(1-x)}}{\log4}+C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数。
$\displaystyle\left(\frac12e^{(2x+1)}\right)'=e^{2x+1},\ \left(\frac{4^{(1-x)}}{\log4}\right)'=e^{\log4 (1-x)}$ をイメージすればわかりやすいでしょう。
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