数III毎日計算ドリル 17日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\lim_{x\to+0}\frac{1}{x^2\log x}\]
【解答】
$\displaystyle t=\frac1x$ とすると，$x\to+0$ で $t\to+\infty$ となるので，
\begin{align*}
\frac{1}{x^2\log x}
&=\left(\frac1x\right)^2\cdot\frac1{\displaystyle -\log \frac1x}\\[6pt]
&=-\frac{t^2}{\log t}\to\boldsymbol{-\infty}\quad(t\to+\infty)
\end{align*}
問２ 曲線 $y=x\log x$ における接線で，$(-2,\,0)$ を通るものを求めよ。
【解答】
$y'=\log x+1$であり，点$(t,\,t\log t)$における接線は，
\begin{align*}
&\ y-t\log t=(\log t+1)(x-t)\\[6pt]
\therefore&\ y=(\log t+1)x-t
\end{align*}
$(-2,\,0)$を通るので，$0=(\log t+1)(-2)-t$ を解いて $t=2\,(>0)$ から求める接線は，
\[y=\boldsymbol{(\log 2+1)x-2}\]
問３ 次の積分を計算せよ。\[\int (3x-4)\sqrt{x^5-2x^4}\ dx\]
【解答】
微分形を見つけて，
\begin{align*}
&\int (3x-4)\sqrt{x^5-2x^4}\ dx\\[6pt]
={}&\int (3x^2-4x)\sqrt{x^3-2x^2}\ dx\\[6pt]
={}&\int (x^3-2x^2)'\sqrt{x^3-2x^2}\ dx\\[6pt]
={}&\frac23\left\{x^2(x-2)\right\}^{\frac32}+C
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数とする。
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