数III毎日計算ドリル 18日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\lim_{x\to +0}\frac{\log (\sin 2x)}{\log x}\]
【解答】
\begin{align*}
&\frac{\log (\sin 2x)}{\log x}\\[6pt]
={}&\frac{\log (\sin 2x)-\log2x+\log2x}{\log x}\\[6pt]
={}&\frac{\displaystyle\log\frac{\sin2x}{2x}}{\log x}+\frac{\log2x}{\log x}\\[6pt]
={}&\frac{\displaystyle\log\frac{\sin2x}{2x}}{\log x}+\frac{\log2}{\log x}+1\to\boldsymbol{1}\quad(x\to +0)
\end{align*}
最後の極限計算の部分では，極限公式を利用しています。
問２ 次の積分を計算せよ。\[\displaystyle \int_1^e \sqrt{x}\log x\ dx\]
【解答】
\begin{align*}
\begin{array}{ll}
\displaystyle \left(x^{\frac{3}{2}}\log x\right)'=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\log x+x^{\frac{1}{2}}&\cdots①\\[6pt]
\displaystyle \left(x^{\frac{3}{2}}\right)'=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}&\cdots②
\end{array}
\end{align*}
$\displaystyle \frac{3}{2}\times①-②$より，
\[\left(\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}}\log x-x^{\frac{3}{2}}\right)=\frac{9}{4}\sqrt{x}\log x\]
これを積分して，$\displaystyle\frac{9}{4}$で割れば，（部分積分）
\begin{align*}
\int_1^e \sqrt{x}\log x\ dx
&=\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\log x-\frac{4}{9}x^{\frac{3}{2}}\right]_1^e\\[6pt]
&=\boldsymbol{\frac{2e^{\frac{3}{2}}-4}{9}}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数とする。
問３ 次を簡単にせよ。\[\displaystyle \frac3{1+\sqrt2i}-\frac6{\sqrt2-i}\]
【解答】
整理して有理化すると，
\begin{align*}
\text{（与式）}&=\frac{-3i}{\sqrt2-i}-\frac6{\sqrt2-i}\\[6pt]
&=-3\frac{(2+i)(\sqrt2+i)}{(\sqrt2-i)(\sqrt2+i)}\\[6pt]
&=-(2+i)(\sqrt2+i)\\[6pt]
&=\boldsymbol{1-2\sqrt2-\left(\sqrt2+2\right)i}
\end{align*}
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