数III毎日計算ドリル 2日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\displaystyle \lim_{n\to\infty} \log_{n+1}\left(n^2+1\right)\]
【解答】
底の変換公式より，
\begin{align*}
&\log_{n+1}\left(n^2+1\right)\\[6pt]
={}&\frac{\log\left(n^2+1\right)}{\log(n+1)}\\[6pt]
={}&\frac{\displaystyle \log \left\{n^2\cdot\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\right\}}{\displaystyle \log \left\{n\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\right\}}\\[6pt]
={}&\frac{\displaystyle 2\log n+\log\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}{\displaystyle \log n+\log\left(1+\frac{1}{n}\right)}\\[6pt]
={}&\frac{\displaystyle 2+\frac{\displaystyle \log\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}{\log n}}{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle \log\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\log n}}
\to\boldsymbol{2}\quad (n\to\infty)
\end{align*}
問２ $\displaystyle x^{\frac23}+y^{\frac23}=4$ の $x=1$ での接線の方程式を求めよ。
【解答】
$x=1$で$y=\pm3\sqrt3$なので，陰関数微分から，
\begin{align*}
\frac23x^{-\frac13}+\frac{dy}{dx}\cdot\frac23y^{-\frac13}=0
\end{align*}
$x=1,\ y=\pm3\sqrt3$なので，$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\left(\pm3\sqrt3\right)^{\frac13}=\mp\sqrt3$より，
\begin{align*}
y=\mp(x-1)\pm3\sqrt3=\boldsymbol{\pm\sqrt{3} x\mp 4\sqrt{3}}\ \text{（複号同順）}
\end{align*}
※ アステロイドは$x=a\cos^3\theta,\,y=a\sin^3\theta$とおけ，$\theta=\theta_0$での接線は$y=-(\tan\theta_0)x+a\sin\theta_0$となる。
問３ 次の積分を計算せよ。\[\displaystyle \int 2x\sqrt{1-2x^2}\ dx\]
【解答】
微分形を見つけて，
\begin{align}
\int 2x\sqrt{1-2x^2}\ dx&=-\frac12\int \left(1-2x^2\right)'\sqrt{1-2x^2}\ dx\\[6pt]
&=\boldsymbol{-\frac13\left(1-2x^2\right)^{\frac32}+C}
\end{align}
ただし，$C$は積分定数。
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