数III毎日計算ドリル 20日目

問題

解答時間の目安

• 上級 ・・・・ ５分以下
• 中級 ・・・・ ５〜10分
• 初級 ・・・・ 10分以上

問１ 数列 $\{a_n\}$ は $\displaystyle a_1=2,\,a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)$ を満たしているとする。このとき $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ を求めよ。

問２ 無限級数
\[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\cdots\cdots\]
の収束，発散を調べ，収束する場合はその和を求めよ。

問３ 方程式 $z^5=1$ の解 $z$ について，$\displaystyle z+\frac{1}{z}$ の値を求めよ。また，これを利用して $\displaystyle\cos \frac{2\pi}{5}$ の値を求めよ。

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