数III毎日計算ドリル 20日目
編集者1解答
問１ 数列 $\{a_n\}$ は $\displaystyle a_1=2,\,a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)$ を満たしているとする。このとき $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ を求めよ。
【解答】
$a_1=2>0$ と漸化式から，$a_n>0$ が成立。また，
\begin{align*}
a_{n+1}-\sqrt{2}&=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)-\sqrt{2}\\[6pt]
&=\frac{\left(a_n-\sqrt{2}\right)^2}{2a_n}
\end{align*}
これと $a_1>\sqrt{2}$ から，$a_n>\sqrt{2}$ が成立。これより，
\begin{align*}
a_{n+1}-\sqrt{2}&=\frac{a_n-\sqrt{2}}{2a_n}\left(a_n-\sqrt{2}\right)\\[6pt]
&<\frac{1}{2}\left(a_n-\sqrt{2}\right)
\end{align*}
以上の結果から，
\[0<a_n-\sqrt{2}<\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(a_1-\sqrt{2}\right)\]
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(a_1-\sqrt{2}\right)=0$ から，はさみうちの原理により，
\[\lim_{n\to\infty}a_n=\boldsymbol{\sqrt{2}}\]
問２ 無限級数
\[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\cdots\cdots\]
の収束，発散を調べ，収束する場合はその和を求めよ。
【解答】
交代級数なので，$n=2N-1,\,2N\ $($N$は自然数)で場合分けして，
\begin{align*}
S_{2N-1}&=1+\sum_{k=1}^N\left(-\frac1k+\frac1k\right)=1\to1\quad(N\to\infty)\\[6pt]
S_{2N}&=S_{2N-1}+\frac1N=1+\frac1N\to1\quad(N\to\infty)
\end{align*}
であるので，この無限級数は収束し，その和は $\boldsymbol{1}$
問３ 方程式 $z^5=1$ の解 $z$ について，$\displaystyle z+\frac{1}{z}$ の値を求めよ。また，これを利用して $\displaystyle\cos \frac{2\pi}{5}$ の値を求めよ。
【解答】
$z^5=1\Leftrightarrow(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0$ より，$z=1$ のとき $\displaystyle z+\frac1z=2$ となる。
$z^4+z^3+z^2+z+1=0$ のとき $z=0$ は解でないので，
\begin{align*}
&z^4+z^3+z^2+z+1=0\\[6pt]
\Leftrightarrow{}& z^2+z+1+\frac1z+\frac1{z^2}=0\\[6pt]
\Leftrightarrow{}& \left(z+\frac1z\right)^2+\left(z+\frac1z\right)-1=0\\[6pt]
\Leftrightarrow{}& z+\frac1z=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}
\end{align*}
よって，$\boldsymbol{\displaystyle z+\frac{1}{z}=2,\,\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}}$ となる。
次に，$\displaystyle z=\cos\frac25\pi+i\sin\frac25\pi$ とすると，$z^5=1$となり，
\begin{align*}
\frac1z&=\cos\left(-\frac25\pi\right)+i\sin\left(-\frac25\pi\right)\\
&=\cos\frac25\pi-i\sin\frac25\pi
\end{align*}
より，$\displaystyle\cos\frac25\pi>0$なので，$\displaystyle z+\frac1z=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ のときで，
\[\cos \frac{2\pi}{5}=\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}-1}{4}}\]
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