数III毎日計算ドリル 21日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\lim_{x\to\infty}\frac{7^x+9^{\frac23x}}{2^{3x}+3^{2x}}\]
【解答】
\begin{align*}
&\frac{7^x+9^{\frac23x}}{2^{3x}+3^{2x}}\\
={}&\frac{7^x+9^{\frac23x}}{8^x+9^x}\\
={}&\frac{\displaystyle\left(\frac79\right)^x+\left(\frac{9^{\frac23}}{9}\right)^x}{\displaystyle\left(\frac89\right)^x+1^x}\\
\to&\frac{0+0}{0+1}
=\boldsymbol{0}\quad(x\to\infty)
\end{align*}
問２ 次を $x$ で微分せよ。\[y=\sqrt{x^2+1}(2x+1)^2(x^2+2)\]
【解答】
積の微分法を用いて，
\[y'=\boldsymbol{\frac{(2x+1)(10x^4+3x^3+2x^2+x-4)}{\sqrt{x^2+1}}}\]
問３ 次の積分を計算せよ。\[\int x \cos{^2}{x}\ dx\]
【解答】
$\displaystyle(x\log x)'=\log x+1$より，
\begin{align*}
\int \log 2x \ dx
&=\int (\log x+\log2) \ dx\\
&=x\log x+\int(\log2-1)\ dx\\
&=\boldsymbol{x\log x +(\log 2-1)x +C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数。
部分積分の詳細は参考書を見てね！！
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