数III毎日計算ドリル 22日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{\log(2x^2+4)}{\log(x+1)}\]
【解答】
\begin{align*}
&\frac{\log(2x^2+4)}{\log(x+1)}\\
={}&\frac{\log\left\{x^2\left(1+\frac4{x^2}\right)\right\}}{\log\left\{x\left(1+\frac1x\right)\right\}}\\[6pt]
={}&\frac{2\log x+\log\left(1+\frac4{x^2}\right)}{\log x+\log\left(1+\frac2x\right)}\\[6pt]
={}&\frac{\displaystyle2+\frac{\log\left(1+\frac4{x^2}\right)}{\log x}}{\displaystyle 1+\frac{\log\left(1+\frac2x\right)}{\log x}}\\[6pt]
\to{}&\frac{2+0}{1+0}=\boldsymbol{2}\quad(x\to\infty)
\end{align*}
別解
$\log$同士の差を作る。
\begin{align*}
&\frac{\log(2x^2+4)}{\log(x+1)}\\[6pt]
={}&\frac{\log(2x^2+4)-2\log(x+1)+2\log(x+1)}{\log(x+1)}\\[6pt]
={}&\frac{\displaystyle\log\frac{2x^2+4}{(x+1)^2}}{\log(x+1)}+2\\[6pt]
={}&\frac{\displaystyle\log\frac{2x^2+4}{(x+1)^2}}{\log(x+1)}+2
\to\boldsymbol{2}\quad(x\to\infty)
\end{align*}
問２ $\displaystyle x=\sqrt{3}\cos\theta,\,y=\sin\theta$で表される曲線における法線で，$(1,\,0)$を通るものをすべて求めよ。
【解答】
曲線上の点$\theta=\theta_0\ (-\pi< \theta\leqq\pi)$における法線は，
\[\frac{dx}{d\theta}=-\sqrt{3}\sin\theta,\,\frac{dy}{d\theta}=\cos\theta\]
であるので，
\[-\sqrt{3}\sin\theta_0(x-\sqrt{3}\cos\theta_0)+\cos\theta_0(y-\sin\theta_0)=0\]
これが$(1,\,0)$を通るので，
\begin{align*}
&-\sqrt{3}\sin\theta_0(1-\sqrt{3}\cos\theta_0)-\cos\theta_0\sin\theta_0=0\\
\Leftrightarrow{}&\sin\theta_0(2\cos\theta_0-\sqrt{3})=0
\end{align*}
ゆえに，$\theta_0=0,\,\pi,\,\pm\frac{\pi}{6}$ より，
\[法線\ :\ \boldsymbol{y=0,\,y=x-1,\,y=-x+1}\]
問３ 次の積分を計算せよ。\[\displaystyle \int\frac{2^{x}-2^{-x}}{2^x+2^{-x}}\ dx\]
【解答】
微分形を見つけて，$\left(2^{x}+2^{-x}\right)'=\left(2^{x}-2^{-x}\right)\log2$より，
\begin{align*}
&\int\frac{2^{x}-2^{-x}}{2^x+2^{-x}}\ dx\\[6pt]
={}&\int\frac{\left(2^{x}+2^{-x}\right)'}{\log2\left(2^x+2^{-x}\right)}\ dx\\[6pt]
={}&\boldsymbol{\frac{\log(2^x+2^{-x})}{\log2}+C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数。
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