数III毎日計算ドリル 23日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\tan\frac{\pi}{n(2n+3)}\]
【解答】
\begin{align*}
&n^2\tan\frac{\pi}{n(2n+3)}\\
={}&\frac{n\pi}{2n+3}\frac{\displaystyle\tan\frac{\pi}{n(2n+3)}}{\displaystyle\frac{\pi}{n(2n+3)}}\\
={}&\frac{\pi}{\displaystyle 2+\frac3n}\frac{\displaystyle\tan\frac{\pi}{n(2n+3)}}{\displaystyle\frac{\pi}{n(2n+3)}}\to\boldsymbol{\frac{\pi}2}\quad(n\to\infty)
\end{align*}
最後の極限計算の部分では，符号に気を付けて極限公式を利用しています。
問２ 次の積分を計算せよ。\[\displaystyle \int x \cos{^2}{x}\ dx\]
【解答】
$\displaystyle\int x \cos{^2}{x}\ dx=\int x \frac{1+\cos{2x}}{2}\ dx$なので，
\[(x\sin2x)'=\sin2x+2x\cos2x\]
両辺を積分すると，
\begin{align*}
&\int x \cos{^2}{x}\ dx\\
={}&\boldsymbol{\frac18 (2x\sin 2x+\cos 2x+ 2x^2)+C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数。
部分積分の詳細は参考書を見てね！！
問３ 次を簡単にせよ。\[\displaystyle \left(1+\sqrt2i\right)^3+\left(1-\sqrt2i\right)^3\]
【解答】
$(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3$を用いて，残る部分のみ計算して，
$（与式）=2\left\{1^3+3\cdot1\cdot\left(\sqrt2i\right)^2\right\}=\boldsymbol{-10}$
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