数III毎日計算ドリル 25日目
編集者1解答
問１ 数列 $a_n$ は漸化式\[a_1=1,\,a_{n+1}=\sqrt{{a_n}^2+a_n+1}\]をみたしている。このとき $\{a_n\}$ の収束，発散を調べよ。
【解答】
$\displaystyle a_{n+1}=\sqrt{{a_n}^2+a_n+1}>a_n+\frac12$より，
\[a_{n+1}=a_n+\frac12\]
を考えると一般項が$\displaystyle a_n=\frac12(1+n)$となり，
\[\lim_{n\to\infty}\frac12(1+n)=\infty\]
より，追い出しの原理から，数列$\{a_n\}$は正の無限大に発散する。
問２ 無限級数\[\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots\cdots\]の収束，発散を調べ，収束する場合はその和を求めよ。
【解答】
$2\sqrt{n}<\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$より，
\[\frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\]
第$N$項までの部分和を考えれば，
\[\sum_{n=1}^N\frac{1}{\sqrt{n}}
>2\sum_{n=1}^N (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})
=2(\sqrt{N+1}-1)\]
$\displaystyle \lim_{N\to\infty}2(\sqrt{N+1}-1)=\infty$であるので，無限級数$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots$は正の無限大に発散する。
問３ 2つの複素数$\alpha,\beta$が$\alpha^2+\beta^2=-\alpha\beta,\ |\alpha+\beta|=3$を満たしている。このとき，$\alpha$の絶対値を求めよ。
【解答】
$\alpha=0$のとき$\alpha^2+\beta^2=-\alpha\beta$より$\beta=0$となり$|\alpha+\beta|=3$を満たさない。よって，$\beta\neq0$で，
\begin{align*}
\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^2+\frac{\beta}{\alpha}+1=0
&\Leftrightarrow\frac{\beta}{\alpha}=\frac{-1\pm\sqrt3i}{2}\\
&\Leftrightarrow\beta=\frac{-1\pm\sqrt3i}{2}\alpha
\end{align*}
ゆえに，$|\alpha+\beta|=3$より，
\begin{align*}
\left|\frac{1\pm\sqrt3i}{2}\alpha\right|=3
\Leftrightarrow\left|\frac{1\pm\sqrt3i}{2}\right||\alpha|=3
\end{align*}
よって，$|\alpha|=\boldsymbol{3}$
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