数III毎日計算ドリル 26日目
編集者1解答
問１ $r\neq -1$ のとき，次の極限を求めよ。\[\lim_{n\to\infty}\frac{r^n}{1+r^n}\]
【解答】
$|r|>1$のとき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac1r\right)^n=0$より，
\[\lim_{n\to\infty}\frac{r^n}{1+r^n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(\frac1r\right)^n+1}
=1\]
$r=1$のとき，$r^n=1$より，
\[\lim_{n\to\infty}\frac{r^n}{1+r^n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+1}
=\frac12\]
$|r|<1$のとき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^n=0$より，
\[\lim_{n\to\infty}\frac{r^n}{1+r^n}
=0\]
\begin{align*}
\therefore\ \left\{\begin{array}{cl}
1&(|r|>1)\\[4pt]
\displaystyle\frac12&(r=1)\\[6pt]
0&(|r|<1)
\end{array}\right.
\end{align*}
問２ 次の関数を $x$ で微分せよ。\[y=\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}\]
【解答】
\begin{align*}
y'&=\frac{(x+\sqrt{1+x^2})'}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}\\[6pt]
&=\frac{\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}{2\sqrt{1+x^2}}\\[6pt]
&=\boldsymbol{\frac12\sqrt{\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{1+x^2}}}
\end{align*}
問３ 次の積分を計算せよ。\[\int \sin(2x+3)\ dx\]
【解答】
\begin{align*}
\int \sin(2x+3)\ dx
&=\frac{1}{(2x+3)'}\cdot\{-\cos(2x+3)\}+C\\
&=\boldsymbol{-\frac12\cos(2x+3)+C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数とする。
１次の合成関数の積分は置換せずとも行えるようにしておこう！！
\[\int f(ax+b)\ dx=\frac1aF(ax+b)+C\quad (a\neq 0)\]
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