数III毎日計算ドリル 27日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\lim_{n\to\infty}\bigl\{ \log_{n^2}{(n+1)}+\log_{2n}{(n-1)}\bigr\}\]
【解答】
\begin{align*}
&\log_{n^2}(n+1)+\log_{2n}(n-1)\\[6pt]
={}&\frac{\log(n+1)}{\log n^2}+\frac{\log(n-1)}{\log2n}\\[6pt]
={}&\frac{\log n+\log\left(1+\frac1n\right)}{2\log n}+\frac{\log n+\log\left(1-\frac1n\right)}{\log n+\log2}\\[6pt]
\to{}&\frac12+1=\boldsymbol{\frac32}\quad(n\to\infty)
\end{align*}
問２ 曲線 $x^2y=1$ 上の $x=1$ における接線・法線の方程式を求めよ。
【解答】
$x^2y=1$に$x=1$を代入して，接点は$(1,\,1)$である。
$x^2y=1$の両辺を$x$で微分して，
\[2xy+x^2\frac{dy}{dx}=0\]
$xy\neq0$なので，
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{2y}{x}\]
よって，接点は$(1,\,1)$における傾きは，
\[\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1, y=1}=-2\]
ゆえに，求める接線と法線は，
\begin{align*}
\text{接線}\ &:\ y=-2(x-1)+3\Leftrightarrow\boldsymbol{y=-2x+1}\\[4pt]
\text{法線}\ &:\ y=\frac12(x-1)+1\Leftrightarrow\boldsymbol{y=\frac12x+\frac12}
\end{align*}
問３ 次の積分を計算せよ。\[\int \frac{e^{2x}}{1-e^{2x}}\ dx\]
【解答】
微分形を見つけて，
\begin{align*}
&\int \frac{e^{2x}}{1-e^{2x}}\ dx\\[6pt]
={}&\int \frac{\displaystyle-\frac12(1-e^{2x})'}{1-e^{2x}}\ dx\\[6pt]
={}&\boldsymbol{-\frac12\log\left|1-e^{2x}\right|+C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数とする。
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