数III毎日計算ドリル 28日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\lim_{x\to0}\frac{2^{x}-1}{\sin \pi x}\]
【解答】
\begin{align*}
&\frac{2^{x}-1}{\sin \pi x}\\[6pt]
={}&\frac{e^{x\log2}-1}{\sin \pi x}\\[6pt]
={}&\frac{e^{x\log 2}-1}{x\log 2}\frac{\pi x}{\sin \pi x}\frac{\log 2}{\pi}\\[6pt]
={}&\boldsymbol{\frac{\log 2}{\pi}}\quad(x\to0)
\end{align*}
最後の極限計算の部分では，符号に気を付けて極限公式を利用しています。
問２ 次の積分を計算せよ。\[\int x^3 e^x\ dx\]
【解答】
\begin{align*}
\begin{array}{lll}
(x^3 e^x)'&=3x^2e^x+x^3 e^x&\quad \cdots①\\
(x^2e^x)'&=2xe^x+x^2e^x&\quad \cdots②\\
(xe^x)'&=e^x+xe^x&\quad \cdots③
\end{array}
\end{align*}
$①-②\times 3+①\times 6$より，
\begin{align*}
\therefore\ \int x^3 e^x\ dx
=\boldsymbol{(x^3-3x^2+6x-6) e^{x}+C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数とする。
部分積分の詳細は参考書のページを見てね！！
問３ 次を簡単にせよ。\[\displaystyle 1+i+i^2+\cdots+i^{100}\]
【解答】
初項$1$公比$i$の等比数列の和を考え，
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{101}i^{k-1}=\frac{1-i^{101}}{1-i}=\frac{1-i}{1-i}=\boldsymbol{1}\quad(\because\ i^4=1)
\end{align*}
【別解】
$i^{4k-3}+i^{4k-2}+i^{4k-1}+i^{4k}=0\ (k\in\mathbb{Z})$より，
\begin{align*}
i+i^2+\cdots+i^{100}=0\text{から，(与式)}=\boldsymbol{1}
\end{align*}
Loading ...