数III毎日計算ドリル 3日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\displaystyle \lim_{n\to\infty}n(n+1)\left(1-\cos\frac{\pi}{n+1}\right)\]
【解答】
$\displaystyle x=\frac{\pi}{n+1}$とすると，$n\to\infty$で$x\to 0$となり，
\begin{align}
&n(n+1)\left(1-\cos\frac{\pi}{n+1}\right)\\
={}&\left(\frac{\pi}x-1\right)\frac{\pi}x\left(1-\cos x\right)\\
={}&(\pi-x)\pi\frac{1-\cos x}{x^2}\to\boldsymbol{\frac{\pi^2}2}\quad (x\to0)
\end{align}
最後の極限計算の部分では，符号に気を付けて極限公式を利用しています。
問２ 次の積分を計算せよ。\[\displaystyle \int x\cos x\ dx\]
【解答】
$(x\sin x)'=\sin x+x\cos x$より，（部分積分）
\begin{align*}
\displaystyle\int x\cos x\ dx&=x\sin x-\int \sin x\ dx\\
&=\boldsymbol{x\sin x+\cos x+C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数。
問３ 次を簡単にせよ。\[\displaystyle\frac{3+4i}{2-i}+\frac{7-i}{10+5i}\]
【解答】
有理化を考えて，
\begin{align*}
\text{（与式）}&=\frac{5(3+4i)(2+i)+(7-i)(2-i)}{(2-i)(2+i)}\\
&=\frac{5(2+11i)+(13-9i)}{5}\\
&=\boldsymbol{\frac{23}{25}(1+2i)}
\end{align*}
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