数III毎日計算ドリル 4日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\displaystyle \lim_{n\to\infty} n\left(e^{\frac{1}{n}}-e^{-\frac{1}{n}}\right)\]
【解答】
$\displaystyle x=\frac1n$とすると，$n\to\infty$で$x\to0$
\begin{align*}
&n\left(e^{\frac{1}{n}}-e^{-\frac{1}{n}}\right)\\
={}&\frac{e^x-1+1-e^{-x}}{x}\\
={}&\frac{e^x-1}{x}+\frac{e^{-x}-1}{-x}\to\boldsymbol{2}\quad(x\to0)
\end{align*}
最後の極限計算の部分では，符号に気を付けて極限公式を利用しています。
問２ 次の関数のグラフを描け。\[\displaystyle y=\frac{x}{\log x}\]
【解答】
定義域は $x>0$ かつ $x\neq1$ で，
\begin{align*}
y'=\frac{\log x-1}{(\log x)^2}
\end{align*}
$\lim_{x\to+0}y=0,\,\lim_{x\to\infty}y=+\infty,\,\lim_{x\to1\pm0}y=\pm\infty$より増減表は次のようになる。
\begin{align*}
\begin{array}{|>{\支柱[12pt][9pt]{}}c||c|c|c|c|c|c|}\hline
x & \cdots & (1) & \cdots & e & \cdots\\\hline
y' & - & × & - & 0 & + \\\hline
y & \searrow& × & \searrow & e & \nearrow \\\hline
\end{array}\end{align*}
よってグラフは次の通り。
問３ 次の積分を計算せよ。\[\int_{-1}^0 \frac{x^2+3x}{x^2+x-2}\ dx\]
【解答】
与式を次数下げして部分分数分解に持ち込むと，
\begin{align*}
&\int_{-1}^0 \frac{x^2+3x}{x^2+x-2}\ dx\\[6pt]
={}&\int_{-1}^0 \left\{1+\frac{2x+1}{x^2+x-2}+\frac{1}{(x+2)(x-1)}\right\}\ dx\\[6pt]
={}&\int_{-1}^0 \left\{1+\frac{(x^2+x-2)'}{x^2+x-2}+\frac13\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+2}\right)\right\}\ dx\\[6pt]
={}&\left[x+\frac43\log|x-1|+\frac23\log|x+2|\right]_{-1}^0\\[6pt]
={}&\boldsymbol{1-\frac23\log2}
\end{align*}
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