数III毎日計算ドリル 5日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\lim_{x\to -\infty} \frac{[\pi x]}{x}\]
【解答】
Gauss記号があるので，不等式で評価してからはさみうちの原理に持ちこみましょう。
$\pi x-1<[\pi x]\leqq\pi x$であるから，$x\to-\infty$より$x<0$で考えて，
\begin{align*}
\pi\leqq\frac{[\pi x]}{x}<\pi-\frac{1}{x}
\end{align*}
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \left(\pi-\frac{1}{x}\right)=\pi$より，はさみうちの原理から，
\begin{align*}
\lim_{x\to -\infty} \frac{[\pi x]}{x}=\boldsymbol{\pi}
\end{align*}
問２ 無限級数\[\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{2}{3\cdot4\cdot5}+\frac{3}{4\cdot5\cdot6}+\cdots\cdots\]の収束，発散を調べ，収束する場合はその和を求めよ。
【解答】
まず，部分和$S_n$を求めてから極限を計算する。
\begin{align*}
S_n&=\sum_{k=1}^n\frac{k}{(k+1)(k+2)(k+3)}\\[6pt]
&=\sum_{k=1}^n\frac{1}{(k+2)(k+3)}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}\\[6pt]
&=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3}\right)\\[6pt]
&~~~~~~~~~~ +\sum_{k=1}^n\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(k+1)(k+2)}-\frac{1}{(k+2)(k+3)}\right)\\[6pt]
&=\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{(n+2)(n+3)}\right)\\[6pt]
&\to \frac{1}{3}-\frac{1}{12}=\frac14\quad(n\to\infty)
\end{align*}
であるので，この無限級数は収束しその和は$\displaystyle \boldsymbol{\frac14}$
問３ 次を簡単にせよ。\[\displaystyle \frac{1}{(1+i)^5}\]
【解答】
極形式にしてド・モアブルの定理より，
\begin{align*}
\frac{1}{(1+i)^5}
&=\left\{\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right)\right\}^{-5}\\[6pt]
&=\frac{\sqrt2}{8}\left\{(\cos\left(-\frac54\pi\right)+i\sin\left(-\frac54\pi\right)\right\}\\[6pt]
&=\boldsymbol{\frac{-1+i}{8}}
\end{align*}
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