数III毎日計算ドリル 6日目
編集者1解答
問１ $a>0,\,b>0$ のとき，次の極限を求めよ。\[\lim_{n\to\infty}\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n}\]
【解答】
$a\geqq b$ のとき，$a>b$ で $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{b}{a}\right)^n=0$ となり，$a=b$ で $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{b}{a}\right)^n=1$なので，
\[\text{(与式)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle a\cdot1^n+b\left(\frac{b}{a}\right)^n}{\displaystyle 1^n+\left(\frac{b}{a}\right)^n}=a\]
$a\leqq b$ も同様にして，答えは$\boldsymbol{a,\,b}$ のうち小さくない方
問２ 次の関数を $x$ で微分せよ。\[y=\frac{\log x^2}{x^2(x^2+1)}\]
【解答】
商の微分法を用いて，\[y'=\boldsymbol{\frac{2\left\{x^2-(2x^2+1)\log x^2+1\right\}}{x^3(x^2+1)^2}}\]
問３ $n$ を自然数とするとき，次の積分を計算せよ。\[\int\Bigl\{(x+2)^n-\log x\Bigr\}\ dx\]
【解答】
$(x\log x)'=\log x+1$より部分積分から，
\begin{align*}
\int\log x\ dx&=x\log x-\int\ dx\\[6pt]
&=x\log x-x+\text{(定数)}
\end{align*}
$\displaystyle \int(x+2)^n\ dx=\frac{(x+2)^{n+1}}{n+1}+\text{(定数)}$と合わせて，
\begin{align*}[6pt]
&\int\Bigl\{(x+2)^n-\log x\Bigr\}\ dx\\
={}&\boldsymbol{\frac{(x+2)^{n+1}}{n+1}-x\log x+x+C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数とする。
※ $\log x$の積分は公式のように扱うことが多い。
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