数III毎日計算ドリル 7日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2}-\sqrt[3]{x^3-x^2}\right)\]
【解答】
\begin{align*}
&\sqrt[3]{x^3+x^2}-\sqrt[3]{x^3-x^2}\\
={}&\frac{2x^2}{\displaystyle \left(\sqrt[3]{x^3+x^2}\right)^2+\sqrt[3]{x^3+x^2}\cdot\sqrt[3]{x^3-x^2}+\left(\sqrt[3]{x^3-x^2}\right)^2}\\[6pt]
={}&\frac{2}{\displaystyle \left(\sqrt[3]{1+\frac1x}\right)^2+\sqrt[3]{1+\frac1x}\cdot\sqrt[3]{1-\frac1x}+\left(\sqrt[3]{1-\frac1x}\right)^2}\\[6pt]
\to{}&\boldsymbol{\frac{2}{3}}\quad(x\to\infty)
\end{align*}
問２ $y-1=\sqrt{8-x^2}$ の $x=2$ における接線の方程式を求めよ。
【解答】
$y-1=\sqrt{8-x^2}$ は円 $x^2+(y-1)^2=8$ の上半分。$(2,\,3)$での接線は接線公式より，
\[2x+(3-1)(y-1)=8\Leftrightarrow\boldsymbol{y=-x+5}\]
問３ 次の積分を計算せよ。\[\int \frac{x^2+2x}{x^3+3x^2+1}\ dx\]
【解答】
微分形を見つけて，
\begin{align*}
\int \frac{x^2+2x}{x^3+3x^2+1}\ dx&=\frac13\int \frac{\left(x^3+3x^2+1\right)'}{x^3+3x^2+1}\ dx\\[6pt]
&=\boldsymbol{\frac13\log|x^3+3x^2+1|+C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数とする。
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