数III毎日計算ドリル 8日目

解答

問１ 次の極限を求めよ。$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{\cos 4x}-\sqrt{\cos x}}{x^2}$$

【解答】

$$\begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{\cos 4x}-\sqrt{\cos x}}{x^2}\\ =& \frac{\cos 4x-\cos x}{x^2(\sqrt{\cos 4x}+\sqrt{\cos x})}\\ =& \{16\cdot \frac{\cos 4x-1}{(4x{)}^2}+\frac{1-\cos x}{x^2}\}\frac{1}{\sqrt{\cos 4x}+\sqrt{\cos x}}\\ \to & (-8+\frac{1}{2})\cdot \frac{1}{2}=\mathbf{-}\frac{\mathbf{15}}{\mathbf{4}}(x\to 0)\end{array}$$

最後の極限計算の部分では，符号に気を付けて極限公式を利用しています。

問２ 次の積分を計算せよ。$$\int x^2\sin xdx$$

【解答】

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}(x^2\cos x{)}^{\prime }=2x\cos x-x^2\sin x& \cdots \text{①}\\ (x\sin x{)}^{\prime }=\sin x+x\cos x& \cdots \text{②}\end{array}\end{array}$$
$\mathrm{②}\times 2-\mathrm{①}$として両辺積分すると，（部分積分）
$$\begin{array}{r}\int x^2\sin xdx=\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{sin}\mathbf{}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{(}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{cos}\mathbf{}\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{C}\end{array}$$

ただし，$C$は積分定数とする。

問３ 次を簡単にせよ。$${\displaystyle \frac{i}{1-2i}+\frac{1}{i}+\frac{2}{5}(1+2i)}$$

【解答】

有理化を考えて，
$$\begin{array}{rl}\text{（与式）}& =\frac{i(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}-i+\frac{2}{5}(1+2i)\\ & =\frac{-2+i}{5}-i+\frac{2+4i}{5}\\ & =\mathbf{0}\end{array}$$

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公式や解法の復習は次を参照