数III毎日計算ドリル 8日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{\cos 4x}-\sqrt{\cos x}}{x^2}\]
【解答】
\begin{align*}
&\frac{\sqrt{\cos 4x}-\sqrt{\cos x}}{x^2}\\[6pt]
={}&\frac{\cos 4x-\cos x}{x^2\left(\sqrt{\cos 4x}+\sqrt{\cos x}\right)}\\[6pt]
={}&\left\{16\cdot \frac{\cos 4x-1}{(4x)^2}+\frac{1-\cos x}{x^2}\right\}\frac1{\sqrt{\cos 4x}+\sqrt{\cos x}}\\[6pt]
\to{}&\left(-8+\frac12\right)\cdot\frac12=\boldsymbol{-\frac{15}{4}}\quad (x\to0)
\end{align*}
最後の極限計算の部分では，符号に気を付けて極限公式を利用しています。
問２ 次の積分を計算せよ。\[\int x^2\sin x\ dx\]
【解答】
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{ll}
(x^2\cos x)'=2x\cos x-x^2\sin x & \cdots\text{①}\\[6pt]
(x\sin x)'=\sin x+x\cos x & \cdots\text{②}
\end{array}\right.\text{}
\end{align*}
$②\times 2-①$として両辺積分すると，（部分積分）
\begin{align*}
\int x^2\sin x\ dx=\boldsymbol{2x\sin x-(x^2-2)\cos x+C}
\end{align*}
ただし，$C$は積分定数とする。
問３ 次を簡単にせよ。\[\displaystyle \frac{i}{1-2i}+\frac1i+\frac25(1+2i)\]
【解答】
有理化を考えて，
\begin{align*}
\text{（与式）}&=\frac{i(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}-i+\frac25(1+2i)\\[6pt]
&=\frac{-2+i}{5}-i+\frac{2+4i}{5}\\[6pt]
&=\boldsymbol{0}
\end{align*}
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