数III毎日計算ドリル 9日目

解答

問１ 次の極限を求めよ。$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}\log \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}$$

【解答】

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{x}\log \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\\ =& \frac{\log (1+\sin x)-\log (1-\sin x)}{2x}\\ =& \frac{1}{2}\cdot \frac{\sin x}{x}\cdot \{\frac{\log (1+\sin x)}{\sin x}+\frac{\log (1-\sin x)}{-\sin x}\}\\ \to & \frac{1}{2}\cdot 1(1+1)=\mathbf{1}(x\to 0)\end{array}$$

最後の極限計算の部分では，符号に気を付けて極限公式を利用しています。

問２ $y=\sqrt{4x^2-x}$ のグラフの概形を描き，漸近線を記せ。

【解答】

${\displaystyle y=\sqrt{4x^2-x}\iff 4{(x-\frac{1}{8})}^2-y^2=\frac{1}{16}}$ かつ $y\geqq 0$

問３ 次の積分を計算せよ。$${\int }_{-2}^0\frac{2t+1}{t^2+2t+2}dt$$

【解答】

${\displaystyle \text{(与式)}={\int }_{-2}^0\{\frac{(t^2+2t+2{)}^{\prime }}{t^2+2t+2}-\frac{1}{t^2+2t+2}\}dt}$
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-2}^0\frac{(t^2+2t+2{)}^{\prime }}{t^2+2t+2}dt& =[\log |t^2+2t+2|{]}_{-2}^0\\ & =\log 2-\log 2=0\end{array}$$
第２項については，
$${\int }_{-2}^0\frac{1}{t^2+2t+2}dt={\int }_{-2}^0\frac{1}{(t+1{)}^2+1}dt$$
$\tan \theta =t+1$とすると，$dt=({\tan }^2\theta +1)d\theta$ であり，区間は次の通り。
$$\begin{array}{r}\begin{array}{cccc}t& -2& \to & 0\\ \theta & {\displaystyle -\frac{\pi }{4}}& \to & {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\end{array}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \therefore }& {\int }_{-2}^0\frac{1}{(t+1{)}^2+1}dt\\ =& {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{{\tan }^2\theta +1}({\tan }^2\theta +1)d\theta \\ =& {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}d\theta \\ =& \frac{\pi }{2}\end{array}$$
よって，${\displaystyle \text{(与式)}=\mathbf{-}\frac{\mathit{\pi }}{\mathbf{2}}}$

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公式や解法の復習は次を参照