数III毎日計算ドリル 9日目
編集者1解答
問１ 次の極限を求めよ。\[\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\log\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\]
【解答】
\begin{align*}
&\frac{1}{x}\log\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\\[6pt]
={}&\frac{\log(1+\sin x)-\log(1-\sin x)}{2x}\\[6pt]
={}&\frac12\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot\left\{\frac{\log(1+\sin x)}{\sin x}+\frac{\log(1-\sin x)}{-\sin x}\right\}\\[6pt]
\to{}&\frac12\cdot1\left(1+1\right)=\boldsymbol{1}\quad(x\to 0)
\end{align*}
最後の極限計算の部分では，符号に気を付けて極限公式を利用しています。
問２ $y=\sqrt{4x^2-x}$ のグラフの概形を描き，漸近線を記せ。
【解答】
$\displaystyle y=\sqrt{4x^2-x}\Leftrightarrow 4\left(x-\frac18\right)^2-y^2=\frac1{16}$ かつ $y\geqq0$
問３ 次の積分を計算せよ。\[\int_{-2}^0 \frac{2t+1}{t^2+2t+2}\ dt\]
【解答】
$\displaystyle\text{(与式)}=\int_{-2}^0 \left\{\frac{(t^2+2t+2)'}{t^2+2t+2}-\frac{1}{t^2+2t+2}\right\}\ dt$
\begin{align*}
\int_{-2}^0 \frac{(t^2+2t+2)'}{t^2+2t+2}\ dt
&=\Bigl[\log|t^2+2t+2|\Bigr]_{-2}^0\\[6pt]
&=\log2-\log2=0
\end{align*}
第２項については，
\[\int_{-2}^0 \frac{1}{t^2+2t+2}\ dt=\int_{-2}^0 \frac{1}{(t+1)^2+1}\ dt\]
$\tan\theta=t+1$とすると，$dt=(\tan^2\theta+1)\ d\theta$ であり，区間は次の通り。
\begin{align*}
\begin{array}{c|ccc}
t & -2 & \to & 0\\\hline
\theta & \displaystyle-\frac{\pi}4 & \to & \displaystyle\frac{\pi}4
\end{array}
\end{align*}
\begin{align*}\displaystyle
\therefore\
&\int_{-2}^0 \frac{1}{(t+1)^2+1}\ dt\\
={}&\int_{-\frac{\pi}4}^{\frac{\pi}4}\frac{1}{\tan^2\theta+1}(\tan^2\theta+1)\ d\theta\\[6pt]
={}&\int_{-\frac{\pi}4}^{\frac{\pi}4}\ d\theta\\[6pt]
={}&\frac{\pi}2
\end{align*}
よって，$\displaystyle\text{(与式)}=\boldsymbol{-\frac{\pi}2}$
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