数III毎日計算ドリル 9日目

解答

問1 次の極限を求めよ。limx01xlog1+sinx1sinx

【解答】

1xlog1+sinx1sinx=log(1+sinx)log(1sinx)2x=12sinxx{log(1+sinx)sinx+log(1sinx)sinx}121(1+1)=1(x0)

最後の極限計算の部分では,符号に気を付けて極限公式を利用しています。


問2 y=4x2x のグラフの概形を描き,漸近線を記せ。

【解答】

y=4x2x4(x18)2y2=116 かつ y0


問3 次の積分を計算せよ。202t+1t2+2t+2 dt

【解答】

(与式)=20{(t2+2t+2)t2+2t+21t2+2t+2} dt
20(t2+2t+2)t2+2t+2 dt=[log|t2+2t+2|]20=log2log2=0
第2項については,
201t2+2t+2 dt=201(t+1)2+1 dt
tanθ=t+1とするとdt=(tan2θ+1) dθ であり,区間は次の通り。
t20θπ4π4
 201(t+1)2+1 dt=π4π41tan2θ+1(tan2θ+1) dθ=π4π4 dθ=π2
よって,(与式)=π2


アンケート 9日目



Loading ... Loading ...

公式や解法の復習は次を参照